Главная >> Геометрия 7—9 классы. Атанасян

§ 3. Четыре замечательные точки треугольника

Свойства серединного перпендикуляра к отрезку

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

На рисунке 226 прямая а — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Докажем теорему о серединном перпендикуляре к отрезку.

Теорема

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Доказательство

Пусть прямая m — серединный перпендикуляр к отрезку АВ, точка О — середина этого отрезка (рис. 227, а).

1) Рассмотрим произвольную точку М прямой m и докажем, что AM = ВМ. Если точка M совпадает с точкой О, то это равенство верно, так как О — середина отрезка АВ. Пусть M и О различные точки. Прямоугольные треугольники ОAM и ОВМ равны по двум катетам (ОА = ОВ, ОМ — общий катет), поэтому AM = ВМ.

Окончание >>>